nash gleichgewicht beispiel

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Sei folgendes Spiel in Normalform gegeben:. Das einzige Nash-Gleichgewicht ist also das Strategiepaar oben, links , das zur Auszahlung 4, 2 führt.

Falls zu überprüfen ist, ob ein Tupel von gemischten Strategien ein Nash-Gleichgewicht ist, funktioniert obiger Algorithmus nur bedingt, da eine unendliche Anzahl an gemischten Strategien überprüft werden müsste.

Alternativ lässt sich das Spiel auch mit iterativer Elimination strikt dominierter Strategien lösen. Bei der Identifizierung von Nash-Gleichgewichten in gemischten Strategien ist es hilfreich, diejenigen gemischten Strategien zu identifizieren, die den Gegenspieler indifferent zwischen seinen Handlungsalternativen machen.

Ist solch eine Strategie gefunden, sind alle Handlungen des Gegners beste Antworten. Treffen solche gemischten Strategien aufeinander, so sind sie folglich wechselseitig beste Antworten, es besteht kein Grund zum einseitigen Abweichen, und die gemischten Strategien bilden ein Nash-Gleichgewicht.

Für beliebige Zwei-Personen-Nullsummenspiele mit endlicher Strategiemenge Matrix-Spiel kann die Bestimmung von Nash-Gleichgewichten in gemischten Strategien als lineares Optimierungsproblem dargestellt werden, das sich mit Hilfe des Simplex-Algorithmus lösen lässt.

Da auf diese beiden Strategien alle Antworten des Gegenspielers beste Antworten sind, sind sie speziell jeweils auch wechselseitig beste Antworten. Für Zwei-Personen-Nullsummenspiele mit perfekter Information , zu denen Brettspiele wie Schach und Mühle gehören, existiert sogar immer ein Minimax-Gleichgewicht in reinen Strategien, das mit dem Minimax-Algorithmus rekursiv bestimmt werden kann.

Dieser Satz wurde bereits von Ernst Zermelo bewiesen. In der Marktwirtschaft ist eine Situation denkbar, bei der mehrere Anbieter in einem Markt die Preise ihrer konkurrierenden Produkte so weit gesenkt haben, dass sie gerade noch wirtschaftlich arbeiten.

Für den einzelnen Anbieter wäre eine ausweichende Strategie nicht möglich: Senkt er seinen Preis, um seinen Absatz zu erhöhen, fällt er unter die Wirtschaftlichkeit; erhöht er ihn, werden die Käufer auf die Konkurrenzprodukte ausweichen und sein Gewinn sinkt ebenfalls.

Ein Ausweg kann nun etwa darin bestehen, beinahe gleichzeitig mit einem Konkurrenten eine Produktinnovation einzuführen, um damit einen höheren Preis zu begründen.

Unter dem Begriff Coopetition wurden derartige Szenarien Mitte der er breiter diskutiert, wobei vor allem die Auseinandersetzung zwischen den US-amerikanischen Fluglinien als markantes Beispiel zitiert wurde.

Ein weiteres Beispiel ist das Gefangenendilemma , ein spieltheoretisches Problem, bei dem genau ein Nash-Gleichgewicht existiert.

Hierzu stelle man sich folgende Situation vor: Zwei Gefangene werden verdächtigt, gemeinsam eine Straftat begangen zu haben.

Die Höchststrafe für das Verbrechen beträgt 10 Jahre Haft. Beiden Gefangenen wird nun ein Handel angeboten, worüber auch beide informiert sind.

Wenn einer allein gesteht Kronzeuge und somit seinen Partner mitbelastet, bekommt er eine milde Strafe von 1 Jahr Haft — der andere muss die vollen 10 Jahre absitzen.

Entscheiden sich beide zu schweigen, bleiben nur Indizienbeweise, die aber ausreichen, um beide für 2 Jahre einzusperren.

Gestehen aber beide die Tat, erwartet jeden eine Gefängnisstrafe von 5 Jahren. Nun werden die Gefangenen unabhängig voneinander befragt.

Weder vor noch während der Befragung haben die beiden die Möglichkeit, sich untereinander abzusprechen. Zwar ist es optimal für die beiden Gefangenen, wenn sie beide schweigen.

Diese Strategie-Kombination ist aber nicht stabil, weil sich ein einzelner Gefangener durch ein Geständnis einen Vorteil für sich verschaffen kann.

Dann kann sich kein einzelner durch ein Schweigen einen Vorteil verschaffen, so dass ein Nash-Gleichgewicht vorliegt. Dieses Nash-Gleichgewicht liefert aber für beide Gefangene schlechtere Ergebnisse als das beidseitige Schweigen, das nur durch Kooperation fixierbar ist.

Das Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma ist nicht pareto-optimal , da sich beide Spieler zusammen dagegen verbessern können. Weicht er nicht ab, hat man auch schon das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gefunden.

Lange Rede, kurzer Sinn: Als rationaler Spieler würde sich Spieler B also für "Links" entscheiden, da er hier die höchste Auszahlung bekommt.

Würde Spieler A aber erst "Unten" wählen, würde sich Spieler B für "Rechts" entscheiden, da er hier mit 3 eine höhere Auszahlung erhält.

Das "Unten", "Links" und "Oben", "Rechts" keine Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien sein können, sollte klar sein, da sogar beide Spieler mit der Wahl der anderen Strategie eine höhere Auszahlung bekommen würde.

Reichen würde aber schon, wenn nur ein Spieler abweichen würde, damit es zu keinem Nash-Gleichgewicht kommt, das ist aber in diesem Beispiel nicht der Fall.

Im Gegensatz zu den reinen Strategien trifft der Spieler keine direkte Entscheidung, sondern überlässt seine Wahl einen Zufallsmechanismus, der eine reine Strategie bestimmt.

Damit besitzt jedes endliche Spiel ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, während es bei reinen Strategien, wie schon oben beschrieben, es eben auch kein Gleichgewicht geben kann.

Deshalb funktioniert auch das "Schere, Stein, Papier"-Spiel, das mit reinen Strategien nicht möglich wäre. Spieler A hat beispielsweise für seine Wahl die Strategie "Oben" zu wählen die Wahrscheinlichkeit p oben , sodass "Unten" die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p oben hat.

Gleiches legt man nun für Spieler B fest, nämliche die Wahrscheinlichkeit für Links p links und damit die Gegenwahrscheinlichkeit für "Rechts" mit 1-p links.

Nun berechnet man den Erwartungsnutzen, also der mit der Wahrscheinlichkeit gewichtete Nutzen für die Spieler A und B.

Damit es jetzt zu einem Nash-Gleichgewicht kommen kann, muss der Erwartungsnutzen für beide Strategien des Spielers gleich sein.

Man setzt die beiden Nutzen je Spieler also gleich. Für Spieler A muss also gelten: Selbiges Vorgehen für Spieler B: Impressum Datenschutzerklärung Design by: Wirtschaftslehre Wirtschaftskunde, Betriebswirtschaftslehre, Volkswirtschaftslehre.

In diesem wird das Nash-Gleichgewicht übrigens sehr schön simpel mit einer Blondine erklärt ;- Grundsätzlich unterscheidet man Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien und in gemischten Strategien.

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Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien (einfach erklärt)

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